abaqus从入门到精通（42）自动时间增量和稳定性-和记娱乐怡情博娱188

稳定性限制了abaqus/explicit求解器所能采用的最大时间步长，这是应用abaqus/explicit进行计算的一个重要因素。本节将描述稳定性限制并讨论如何在abaqus/explicit中确定这个值，还将讨论影响稳定性限制的有关模型设计参数的问题，这些模型参数包括模型的质量、材料和网格划分。

 

7.3.1 显式方法的条件稳定性

应用显式方法，基于在增量步开始时刻t的模型状态，通过时间增量∆t前推到当前时刻的模型状态。使得状态能够前推并仍能够保持对问题的精确描述的时间是非常短的，如果时间增量大于这个最大的时

 

间步长，则此时间增量已经超出稳定性限制（stability limit）。超过稳定性限制的一个可能后果就是数值不稳定，它可能导致解答不收敛。

 

由于一般不可能精确地确定稳定性限制，因而通常采用保守的估计值。因为稳定性限制对可靠性和精确性有很大的影响，所以必须一致并保守地确定这个值。为了提高计算效率，abaqus/explicit选择时间增量，使其尽可能地接近而且又不超过稳定性限制。

 

7.3.2 稳定性限制的定义

以在系统中的最高频率wmax的形式定义稳定性限制。无阻尼的稳定极限由式（7-11）定义

 

而有阻尼的稳定极限由下式定义

 

 

式中，ζ是最高频率模态的临界阻尼部分（临界阻尼定义了在自由的和有阻尼的振动关系中，有振荡运动与无振荡运动之间的限制。为了控制高频振荡，abaqus/explicit总是以体积黏性的形式引入一个小量的阻尼）。这也许与工程上的直觉相反，阻尼通常是减小稳定性限制的。

 

在系统中的实际最高频率基于一组复杂的相互作用因素，而且不大可能计算出确切的值。代替的办法是应用一个有效的和保守的简单估算，不考虑模型整体，而是估算在模型中每个个体单元的最高频率，它总是与膨胀模态有关。可以证明，以逐个单元为基础确定的最高单元频率总是高于有限元组合模型的最高频率。

 

基于逐个单元的估算，稳定极限可以用单元长度le和材料波速cd重新定义

 

 

 

因为没有明确如何确定单元的长度，所以对于大多数单元类型，例如一个扭曲的四边形单元，上述方程只是关于实际的逐个单元稳定极限的估算。作为近似值，可以采用最短的单元尺寸，但是估算的结果并不一定是保守的。单元长度越短，稳定极限越小。波速是材料的一个特性，对于泊松比为零的线弹性材料

 

 

其中，e是杨氏模量，ρ是材料密度。材料的刚度越大，波速越高，导致越小的稳定极限；密度越高，波速越低，导致越大的稳定极限。

 

这种简单的稳定极限定义提供了某些直觉上的理解。稳定极限是当膨胀波通过由单元特征长度定义的距离时所需要的时间。如果知道最小的单元尺寸和材料的波速，就能够估算稳定极限。例如，如果最小单元尺寸是5mm，膨胀波速是5000m/s，那么稳定的时间增量就在1×10-6s的量级上。

 

7.3.3 abaqus/explicit中的完全自动时间增量与固定时间增量

在分析过程中，abaqus/explicit应用在7.3.2节的方程中调整时间增量的值，使得基于模型的当前状态的稳定极限永不越界。时间增量是自动的，并不需要用户干涉，甚至不需要建议初始的时间增量。

 

稳定极限是从数值模型得来的一个数学概念，因为有限元程序包含了所有的相关细节，所以能够确定出一个有效的和保守的稳定极限。然而，abaqus/explicit允许用户不考虑自动时间增量。

 

在显式分析中所采用的时间增量必须小于中心差分算子的稳定极限。如果未能使用足够小的时间增量，则会导致不稳定的解答。当解答不稳定时，求解变量（如位移）的时间历史响应一般会出现振幅不断增加的振荡，总体的能量平衡也将发生显著的变化。如果模型只包含一种材料，则初始时间增量直接与网格中的最小单元尺寸成正比；如果网格中包含了均匀尺寸的单元但是却包含多种材料，那么具有最大波速的单元将决定初始的时间增量。

 

在具有大变形和／或非线性材料响应的非线性问题中，模型的最高频率将连续变化，并导致稳定极限的变化。对于时间增量的控制，abaqus/explicit有两种方案：完全的自动时间增量（程序中考虑了稳定极限的变化）和固定的时间增量。

 

abaqus/explicit应用两种估算方法确定稳定极限：逐个单元法和整体法。在分析开始时总是使用逐个单元估算法，并在一定的条件下转变为整体估算法。逐个单元估算法是保守的，与基于整体模型最高频率的真正的稳定极限相比较，它将给出一个更小的稳定时间增量。一般来说，约束（如边界条件）和动力学接触具有压缩特征值响应谱的效果，而逐个单元估算法没有考虑这种效果。另一方面，整体估算法应用当前的膨胀波波速确定整个模型的最高阶频率，这种算法为了得到最高频率将连续地更新估算值。一般来说，整体估算法允许时间增量超出逐个单元估算法得到的值。

 

abaqus/explicit也提供了固定时间增量算法。固定时间增量的值可以由逐个单元估算法确定，也可以由用户直接指定时间增量。当要求更精确地表达问题的高阶模态响应时，固定时间增量算法是更有效的，在这种情况下，可能采用比逐个单元估算法更小的时间增量值。如果在分析步中应用了固定时间增量，那么abaqus/explicit将不再检查计算的响应是否稳定。通过仔细检查能量历史和其他响应变量，用户应当确保得到有效的响应。

 

7.3.4 质量缩放以控制时间增量

由于质量密度影响稳定极限，所以在某些情况下，缩放质量密度能够潜在地提高分析的效率。例如，许多模型需要复杂的离散，因此有些区域常常包含控制稳定极限的非常小或者形状极差的单元。这些控制单元常常数量很少并且可能只存在于局部区域，通过仅增加这些控制单元的质量，就可以显著地增加稳定极限，而对模型的整体动力学行为的影响是可以忽略的。

 

abaqus/explicit的自动质量缩放功能可以阻止这些有缺陷的单元对稳定极限的影响。质量缩放可以采用两种基本方法：一种是直接定义一个缩放因子，另一种是对质量有缺陷的单元逐个定义所需要的稳定时间增量，这两种方法都允许对稳定极限附加用户控制。然而，采用质量缩放时也要小心，因为模型质量的显著变化可能会改变问题的物理模型。

 

7.3.5 材料对稳定极限的影响

材料模型通过它对膨胀波波速的限制作用来影响稳定极限。在线性材料中波速是常数，所以，在分析过程中稳定极限的唯一变化来自于最小单元尺寸的变化；在非线性材料中，例如产生塑性的金属材料，当材料屈服和材料的刚度变化时波速发生变化。在整个分析过程中，abaqus/explicit监控模型中材料的有效波速，并应用在每个单元中的当前材料状态估算稳定性。材料在屈服之后刚度下降，减小了波速并因而相应地增加了稳定极限。

 

7.3.6 网格对稳定极限的影响

因为稳定极限大致与最短的单元尺寸成比例，所以应该优先使单元的尺寸尽可能大。遗憾的是，对于精确的分析而言，采用一个细划的网格常常是必要的。为了在满足网格精度水平要求的前提下尽可能地获得最高的稳定极限，最好的方法是采用一个尽可能均匀的网格。

 

由于稳定极限基于模型中最小的单元尺寸，所以一个单独的微小单元或者形状极差的单元都能够迅速地降低稳定极限。为了便于用户发现问题，abaqus/explicit在状态文件（.sta）中提供了网格中具有最低稳定极限的10个单元的清单。如果模型中包含了一些稳定极限比网格中其他单元小得多的单元，有必要重新划分模型网格，以使其更加均匀。

 

7.3.7 数值不稳定性

在大多数情况下，abaqus/explicit对于大多数单元保持了稳定。但是，如果定义了弹簧和减振器单元，那么它们在分析过程中有可能变得不稳定。因此，能够在分析过程中识别是否发生了数值不稳定性是非常有用的。如果确实发生了数值不稳定，典型的情况是结果变得无界，没有物理意义，而且解时常是振荡的。

 

（内容、图片来源：《abaqus 2020有限元分析从入门到精通》，侵删）

 

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