19世纪,随着力学的发展,数学家们首次发现了非线性的微分方程,这类方程与通常的线性的微分方程相比,方程中多了一个或几个非线性的项,正是非线性项的存在,使方程由简单的线性变成了复杂的非线性。当时,这类方程较多地出现在空气动力学方程与流体力学方程之中。而法国数学家则是最早研究此类方程的人,由此,他得出结论:自然界从广义上讲是由非线性构成的。
非线性问题主要包括三大类:
1.材料非线性
材料非线性体现在应力—应变曲线上,初始阶段为为弹性变形,属于线性变形。而后期变形为塑性变形,过程不可逆,变形也不规律,属于非线性变形。所有的工程材料本质上都是非线性的,因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件,比如加载、温度和应变率。
材料非线性的简单分类:
◾ 非线性弹性
◾ 超弹性
◾ 理想弹-塑性
◾ 弹性-时间无关塑性
◾ 时间相关塑性(蠕变)
◾ 应变率相关弹-塑性
◾ 温度相关的弹性和塑性
2.边界非线性
若边界条件伴随分析过程发生变化,就会产生边界非线性问题。如下图所示的悬臂梁,它随施加的载荷发生挠曲,直到碰到障碍。
最典型的边界非线性就是力学分析中的接触。包括摩擦,碰撞等等。如两个或更多个部件彼此接触或相互干扰,则组件的这种刚度也会变化并改变。
梁端部的竖向挠度与载荷在它接触到障碍以前都是线性关系。在端部碰到障碍时,梁端部的边界条件发生突然的变化,阻止竖向挠度继续增大。随后,梁的响应将不再是线性的。边界非线性是极度不连续的,在模拟过程中发生接触,结构的响应特征会在瞬时发生很大的变化。
3.几何非线性
几何非线性的起因是于分析过程中模型的几何改变相联系的,几何非线性发生在位移的大小影响到结构响应的情况。
几何非线性可能与以下几种情况有关:a、大应变;b、大转角;c、大变形
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